Были случаи, когда камнем преткновения становился какой-то документ ("тапу"?), который якобы должен дать хозяин квартиры (арендодатель)

Так вот, у меня такой знакомый турок есть И он в целом не против сделать приглашение, но не может понять, чем это лучше.

Не тапу, а договор об аренде заключенный в нотариусе! Что бы не быть в пролете, деньги нужно давать после заверения документа.

Раз он не хочет понять, значит ему это не особо и нужно. Дело в том, что когда турок вас якобы приглашает к себе, он несет за вас ответственность!